Μοντελοποίηση –Προσομοίωση & Υπολογιστικές Επιστήμες: Μια πρώτη προσέγγιση

Σαράντος Ψυχάρης
Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Πανεπιστημίου Αιγαίου

Η προσομοίωση αποτελείται από οντότητες που έχουν ιδιότητες και μεθόδους που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους κατά τη διάρκεια των διεργασιών κάτω από ορισμένες συνθήκες για να παραγάγουν γεγονότα τα οποία θα αλλάξουν την κατάσταση του συστήματος(Claude Shannon)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η θεωρία της Πληροφορίας βασίζεται στην θεωρία των πιθανοτήτων και τη στατιστική. Οι βασικές έννοιες στη θεωρία της Πληροφορίας είναι η εντροπία, η πληροφορία σε μια τυχαία μεταβλητή και η αμοιβαία πληροφορία ανάμεσα σε δυο τυχαίες μεταβλητές.
Η εξέλιξη των Υπολογιστών στηρίχθηκε στη Φυσική ενώ οι κβαντικοί υπολογιστές στηρίζονται σε δυο επιστήμες: την επιστήμη της πληροφορίας και την κβαντική φυσική.
Η κυματοσυνάρτηση μπορεί να γραφεί ως υπέρθεση ιδιοσυναρτήσεων ενός φυσικού μεγέθους και μεταφέρει τη πληροφορία για τη κατάσταση ενός συστήματος. Η χρονική της εξέλιξη περιγράφεται μέσω τελεστών και δείχνει την εξέλιξη της πληροφορίας που έχουμε για ένα σύστημα. Η γλώσσα της κβαντικής φυσικής μοιάζει πολύ με τη γλώσσα της πληροφορίας: η κβαντική κυματοσυνάρτηση ορίζεται ως μια μαθηματική οντότητα η οποία εκφράζει όλες τις ιδιότητες ενός δεδομένου φυσικού συστήματος, άρα είναι μια ποσότητα πληροφορίας. Οι φυσικές διαδικασίες την αναγκάζουν να μεταβάλλεται, και έτσι αν σχεδιάσουμε κατάλληλες διαδικασίες, τότε η εξέλιξη της κυματοσυνάρτησης θα είναι μια μορφή επεξεργασίας πληροφοριών την οποία μπορούμε να ελέγξουμε. Ειδικότερα η κβαντική θεωρία πληροφορίας είναι το ερευνητικό πεδίο που διαπραγματεύεται θέματα όπως η κβαντική κρυπτογραφία και οι κβαντικοί υπολογιστές.
Η θεωρία της πληροφορίας συνδέεται άμεσα με την εντροπία ενός συστήματος. Το 1948 ο Shannοn(Shannon1949) δημοσίευσε την εργασία του, με τίτλο «Η μαθηματική θεωρία της πληροφορίας» και θεμελίωσε τη Θεωρία της Πληροφορίας. Στη θεωρία του Shannon η εντροπία η εντροπία της πληροφορίας ορίζεται ως το μέτρο της αβεβαιότητας που σχετίζεται με μια τυχαία μεταβλητή και ποσοτικοποιεί τη πληροφορία που περιέχεται σε ένα μήνυμα με τη μορφή bits/σύμβολο. Έστω Χ μια τυχαία μεταβλητή η οποία μπορεί να παίρνει τις τιμές {x₁…x_n} και p(x_i) η συνάρτηση κατανομής πιθανότητας της μεταβλητής. Η εντροπία Η ( ή η εντροπία μια πηγής με Μ σύμβολα ή η μέση ανά σύμβολο πληροφορία μιας ακολουθίας συμβόλων) ορίζεται από τη σχέση .

Η εξίσωση του Shannοn για την εντροπία της πληροφορίας είναι σχεδόν ίδια με την εξίσωση του BοΙtzmann (S=klnP) για την εντροπία όπως διατυπώνεται στο δεύτερο Θερμοδυναμικό νόμο. Η εντροπία μετράει το βαθμό αταξίας και αυξάνει με την πιθανότητα ενώ η πληροφορία ουσιαστικά μετράει το βαθμό της τάξης μέσα στη δομή του μηνύματος και ελαττώνεται με την πιθανότητα. Από τα παραπάνω προκύπτει η σχέση της πιθανότητας (που συνδέεται με τη μέθοδο Monte Carlo) και της Πληροφορίας. Συνοψίζοντας τα παραπάνω προκύπτει ότι η Πληροφορία είναι συνυφασμένη με την έννοια της πιθανότητας αλλά και τον αριθμό των μικροκαταστάσεων ενός συστήματος. Οι Υπολογιστικές Επιστήμες(Computational Sciences) μετράνε τη πληροφορία ενός συστήματος, δηλαδή των αριθμό των μικρο/μακρο καταστάσεων και χρησιμοποιούν –μεταξύ άλλων-την έννοια της πυκνότητα πιθανότητας για τους υπολογισμούς τιμών μεγεθών.
Μια από τις βασικές συνιστώσες αυτού του επιστημονικού πεδίου είναι ο μετασχηματισμός ενός φυσικού φαινομένου ( η Υπολογιστική Φυσική ήταν από τις πρώτες Υπολογιστικές Επιστήμες) από το επίπεδο της αφαίρεσης στο επίπεδο των εννοιολογικού μοντέλου και στη συνέχεια στο μετασχηματισμό σε ένα υπολογιστικό μοντέλο το οποίο θα κριθεί για την αξιοπιστία ,την αποτίμηση και την επαλήθευσή του. Τα παραπάνω οδήγησαν στην έννοια του υπολογιστικού πειράματος όπου το μοντέλο και ο υπολογιστής παίρνουν τη θέση του «κλασικού» πειράματος και όπου η προσομοίωση αντικαθιστά το πείραμα (Koonin & Meredith 1990, Gibbs 1994).

Με τον όρο Υπολογιστική προσέγγιση στις Επιστήμες εννοούμε την προσέγγιση που θεωρεί τα πειράματα με υπολογιστή ως βασικό εργαλείο της Εκπαίδευσης και όχι μόνο της Διδακτικής σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης(Hjorth-Jensen, 2007). Τα «υπολογιστικά πειράματα» είναι βασικό συστατικό στις επιστήμες με αποτέλεσμα σήμερα η επιστήμη να θεωρείται ότι συνίσταται από τρεις άξονες: το πείραμα, την αριθμητική μοντελοποίηση –υπολογιστικά πειράματα και τη θεωρία ενώ θεμελιώδης συνιστώσα στα υπολογιστικά πειράματα είναι ο προγραμματισμός και η κατασκευή αλγορίθμου. Ένα βασικό θέμα στην εκπαίδευση και τη διδακτική είναι επίσης η επίλυση προβλημάτων και οι γνωστικές λειτουργίες που πραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια της επίλυσης ενώ η αλγοριθμική σκέψη αποτελεί μια από τις βασικές γνωστικές διαδικασίες. Η δημιουργία αλγορίθμων προέρχεται κυρίως από την ανάγκη επίλυσης προβλημάτων που περιλαμβάνουν Μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών και των παραμέτρων Ο αλγόριθμος θα πρέπει να περιλαμβάνει αρχικές συνθήκες του συστήματος, συνοριακές συνθήκες, τους νόμους που διέπουν την εξέλιξη του συστήματος και ότι άλλο «συνδέσμους» συνδέουν τις παραμέτρους και μεταβλητές του συστήματος. Στη συνέχεια –συνήθως –το σύστημα περιγράφεται από συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις και επιλύεται αριθμητικά και υπολογιστικά.
Τα παραπάνω συνοψίζονται στην παρακάτω λογική ακολουθία Landau(2008) για τον τρόπο εργασίας στην Υπολογιστική Φυσική, η οποία θεωρείται και ο πυρήνας της Υπολογιστικής Επιστήμης:
Πρόβλημα ↔ θεωρία ↔ μοντέλο ↔ μέθοδος-προσομοίωση-↔ υλοποίηση(με γλώσσες προγραμματισμού-η λογισμικά ↔ αξιολόγηση( συγκρίνοντας με πραγματικά δεδομένα)

Εικόνα 1 : Το παράδειγμα επίλυσης προβλήματος στην Υπολογιστική Φυσική

Σύμφωνα με τη προσέγγιση του Landau, η μέθοδος που ακολουθείται στην Υπολογιστική Φυσική ξεκινά με την υιοθέτηση μιας θεωρίας και στη συνέχεια την εφαρμογή ενός μοντέλου σε αντιστοιχία με τη θεωρία αυτή.
Σύμφωνα με τη τυπολογία των μοντέλων, η υιοθέτηση ενός μοντέλου υπάρχει ακόμα και όταν δεν υπάρχει θεωρία και ίσως αυτή η κατάσταση να είναι αυτή που «γεννά» περισσότερη Φυσική. Στη συνέχεια ακολουθεί η χρήση τεχνικών προσομοίωσης-όπως περιγράφονται σε άλλα άρθρα του συγγραφέα-και η χρήση τεχνικών αριθμητικής ανάλυσης για να καταλήξουμε στην υπολογιστική φάση όπου χρησιμοποιείται κώδικας σε γλώσσα προγραμματισμού εφαρμογές λογισμικών(ή και τα δυο ορισμένες φορές).
Η διαδικασία δημιουργίας ενός υπολογιστικού πειράματος αποτελείται από τρεις φάσεις:
Η πρώτη φάση είναι η φάση της μοντελοποίησης, η δεύτερη φάση είναι η φάση της προσομοίωσης και η τρίτη φάση είναι η «υπολογιστική φάση».
Η φάση της μοντελοποίησης αφορά τη δημιουργία ενός αφηρημένου μοντέλου για το σύστημα που θα μελετηθεί. Οι ερευνητικές προσπάθειες στο πεδίο αυτό προτείνουν τη χρήση «δομημένων αλληλεπιδραστικών μεθόδων μοντελοποίησης» (Doerr 1996, Schecker,1998,2005) , τη χρήση «γραφήματος μέσω συνδέσεων» (bond graph) με χρήση αντικειμενοστραφούς προγραμματισμού (Cellier 1992). Για πιο ρεαλιστικά προβλήματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν υπολογιστικά πειράματα με γλώσσα προγραμματισμού.
Η φάση της προσομοίωσης. Στη φάση αυτή αναφερόμαστε στις μαθηματικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τη λύση του προβλήματος. Οι προσομοιώσεις χρησιμοποιούν το χρόνο σε τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις προσομοίωσης(διακριτού χρόνου, συνεχούς χρόνου, επόμενου γεγονότος). Σύμφωνα με τους (Garzia & Garzia, 1990) υπάρχουν τρία κριτήρια για την απόφαση αν το μοντέλο της προσομοίωσης είναι ακριβής αναπαράσταση του φυσικού κόσμου. Το πρώτο αφορά την επαλήθευση( verification) του μοντέλου, δηλαδή την εξασφάλιση ότι είμαστε βέβαιοι ότι η υπολογιστική προσομοίωση δρα-αντιστοιχεί όπως είχαμε σχεδιάσει σχετικά με το νοητικό μοντέλο. Στο βήμα αυτό τα ερωτήματα είναι: υλοποιείται σωστά το μοντέλο στον υπολογιστή(με τη γλώσσα προγραμματισμού); Οι παράμετροι εισόδου και η λογική δομή του μοντέλου αντιπροσωπεύονται σωστά στο μοντέλο στον υπολογιστή; Οι τεχνικές που χρησιμοποιούνται είναι η τμηματοποιημένη ανάπτυξη του κώδικα, το τρέξιμο του μοντέλου κάτω από διαφορετικές συνθήκες με γνωστή συμπεριφορά και διαφορετικές παραμέτρους εισόδου . Το επόμενο βήμα είναι η αποτίμηση (validation) , δηλαδή η εξέταση αν το εννοιολογικό μοντέλο ανταποκρίνεται στο πραγματικό σύστημα. Η αποτίμηση συνήθως επιτυγχάνεται με τη ρύθμιση του μοντέλου , δηλαδή με την επαναληπτική διαδικασία σύγκρισης του μοντέλου με την πραγματική συμπεριφορά του συστήματος και την ανεύρεση διαφορών ανάμεσα στο μοντέλο και το πραγματικό σύστημα. Η σύγκριση μπορεί να γίνει με την ανάλυση της συνάρτησης κατανομής μεγεθών του φυσικού συστήματος και της συνάρτησης κατανομής των αποτελεσμάτων της προσομοίωσης. Το τελικό βήμα αφορά την αξιοπιστία (credibility) του μοντέλου , δηλαδή τη βεβαιότητα ότι το μοντέλο της προσομοίωσης δίνει αποτελέσματα με ακρίβεια τα οποία μπορούν να είναι και χρήσιμα σε επεκτάσεις του μοντέλου.

 

Εικόνα: σχέση φυσικού συστήματος, εννοιολογικού μοντέλου και υπολογιστικού μοντέλου

 Η διδακτική προβολή αυτών των κριτηρίων( αφού όμως εξασφαλισθούν τα παραπάνω κριτήρια-κάτι που συνήθως δεν αναφέρεται σε εφαρμογές των ΤΠΕ) είναι τα εξής κριτήρια: 1. η λειτουργική αξιοπιστία 2. η εννοιολογική αξιοπιστία και 3. τα εσωτερικά χαρακτηριστικά του μοντέλου της προσομοίωσης(Ψυχάρης,2008)

Η λειτουργική αξιοπιστία αφορά την εσωτερική αντιστοιχία της δομής του μοντέλου που προσομοιώθηκε και την εσωτερική δομή της θεματικής ενότητας στην οποία αντιστοιχεί το μοντέλο της προσομοίωσης.
Η εννοιολογική αξιοπιστία αφορά τον τρόπο που αυτή η αναπαράσταση παρουσιάζεται στο χρήστη ή δημιουργείται από το χρήστη και το τρόπο διαχείρισης των αντικειμένων της προσομοίωσης από το χρήστη σύμφωνα με τον τρόπο που απαιτεί η θεματική ενότητα.
Τέλος τα εσωτερικά χαρακτηριστικά του μοντέλου προσομοίωσης αναφέρονται στα χαρακτηριστικά και τη δομή των μεταβλητών, τις μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων των οντοτήτων του συστήματος, τη φύση των μεταβλητών της προσομοίωσης και τη φύση της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. . Τα εσωτερικά χαρακτηριστικά του μοντέλου είναι σημαντικά για την διδακτική. Η χρήση και διαχείριση παραμέτρων από τον εκπαιδευόμενο, η δυνατότητα μεταβολών των τιμών των μεταβλητών, η αναγκαιότητα χρήσης όλων των μεταβλητών για την περιγραφή του συστήματος, η «απόσταση» των πραγματικών τιμών και των τιμών της προσομοίωσης, η χρήση ή όχι όλων των ανεξάρτητων μεταβλητών κλπ. αποτελούν βασικά χαρακτηριστικά της προσομοίωσης και μελετώνται από τη διδακτική των Επιστημών. Παρόλα αυτά αυτό που συνήθως απουσιάζει από τα άρθρα σχετικά με τα εσωτερικά χαρακτηριστικά του μοντέλου είναι η αλγοριθμική σκέψη, δηλαδή το σύνολο των οδηγιών για τη λύση του προβλήματος.
Η αιτιολόγηση της χρήσης της αξιοπιστίας ως δείκτη για την προσομοίωση προέρχεται από το γεγονός ότι η υψηλής αξιοπιστίας προσομοίωση βοηθά την απόκτηση γνώσης όταν οι διαφορές ανάμεσα στο πραγματικό και το προσομοιωμένο σύστημα είναι πολύ μικρές (De Hoog, De Jong, & De Vries, 1991). Οι διαφορές αυτές-τουλάχιστον σε εμένα- είναι αδύνατον να γίνουν αντιληπτές από τον εκπαιδευόμενο, όταν δεν υπάρχει ο αλγόριθμος και η υπολογιστική φάση σε ένα υπολογιστικό πείραμα, γιατί είναι αδύνατον να γίνει αντιληπτό πως δημιουργούνται αυτές οι διαφορές(εξάλλου ας μη μας διαφεύγει ότι με τη χρήση των λογισμικών δεν υπάρχει η έννοια του σφάλματος).
Τα παραπάνω κριτήρια θα πρέπει να περιλαμβάνονται σε κάθε εφαρμογή των ΤΠΕ στην εκπαίδευση και αφορούν την αξιολόγηση της επιστημονικής διαδικασίας σύμφωνα με το μοντέλο του Landau(2008) που αναφέραμε σε προηγούμενη ενότητα.

Η υπολογιστική φάση. Η φάση αυτή αναφέρεται στην υλοποίηση αλγορίθμων και αριθμητικών τεχνικών και στη συνέχεια στη συγγραφή κώδικα σε κάποια γλώσσα για την επίλυση και «οπτικοποίηση» της προσομοίωσης(άρα εκτός των άλλων και στην διδακτική της αξία). Ειδικότερα για την Υπολογιστική Φυσική (ΥΦ), στο βιβλίο του «Computational Physics – An Introduction» (Kluwer Academic Plenum Publishers, New York-London 1993 και 2000) ο Franz Vesely αναφέρει: το θεμελιώδες σημείο στην Υπολογιστική Φυσική είναι η συστηματική εφαρμογή αριθμητικών τεχνικών μαζί με αναλυτικές μεθόδους και αλγορίθμους ώστε να καταστεί δυνατή η εφαρμογή υπολογιστικών τεχνικών σε ένα μεγάλο μέρος της φυσικής πραγματικότητας. Αυτή η μεθοδολογία επεκτάθηκε σε πολλές επιστήμες που χαρακτηρίζονται από τον όρο «Υπολογιστική» αλλά ειδικά η Υπολογιστική Φυσική «πάτησε τη σκανδάλη» για την ανάπτυξη ενός ολόκληρου επιστημονικού πεδίου με τους δικούς του στόχους , προβλήματα και ερευνητικά αποτελέσματα. Ο επιστημονικός κλάδος με την ονομασία «Υπολογιστική Φυσική» θεωρείται ότι περιέχει και περιέχεται στην «επιστήμη των υπολογιστών» (Σημαντικό είναι να διαχωρίσουμε τους όρους Computational Science και Computer Science). Σύμφωνα με τους πολλούς συγγραφείς(π.χ. Landau,2008) η Υπολογιστική Φυσική(ΥΦ) είναι ένα διεπιστημονικό πεδίο που συνδυάζει τα πεδία της φυσικής, των μαθηματικών και της επιστήμης των υπολογιστών(βλέπε εικόνα) με σκοπό την επίλυση πραγματικών προβλημάτων αλλά είναι κάτι περισσότερο από την τομή της φυσικής, της επιστήμης των υπολογιστών και των μαθηματικών αφού μπορεί να δρα και ως γέφυρα μεταξύ αυτών των επιστημών αφού περιέχει και δικά της υπολογιστικά εργαλεία και μεθόδους που μπορούν να στηρίξουν αυτές τις επιστήμες.
Επίσης σύμφωνα με τους συγγραφείς η ΥΦ(CP) θεωρείται από την επιστημονική κοινότητα ως κυρίαρχο μέλος των επιστημών και οι επιστήμονες που ασχολούνται με αυτήν είναι εκτός από τους Φυσικούς και όσοι ασχολούνται με την επιστήμη των υπολογιστών. Η ΥΦ ως επιστήμη που ασχολείται με εφαρμογές στην εκπαίδευση ακολουθεί την διαδικασία:Πρόβλημα↔Θεωρία↔ Μοντέλο ↔ Μέθοδος↔ Υλοποίηση ↔ Αξιολόγηση.

 

 

Εικόνα: η σχέση της Υπολογιστικής Φυσικής με την επιστήμη των υπολογιστών και τα γνωστικά αντικείμενα της Φυσικής και των Μαθηματικών