Κατασκευή Κύκλου σε Ψηφιακό περιβάλλον διαφορετικό από αυτό που μας κληροδότησε ο Ευκλείδης για πάνω από 2200 χρόνια (Κωνικές Τομές – Κύκλος)

Του Νίκου Δαπόντε,

Εισαγωγή

i) Ο κύκλος ως μια από τις «Κωνικές Τομές» του Μέναιχμου

Όλοι οι ιστορικοί των μαθηματικών αποδίδουν στον Έλληνα Γεωμέτρη και Αστρονόμο Μέναιχμο τον Προκοννήσιο (375 – 325 π.Χ.) όχι μόνο την ανακάλυψη των κωνικών τομών αλλά και τη χρησιμοποίηση ιδιοτήτων τους στην επίλυση του «Δήλιου προβλήματος» δηλαδή του προβλήματος διπλασιασμού του κύβου. Προς τιμήν του, για πρώτη φορά δόθηκε το όνομα «τριάδες του Μέναιχμου» στις τρεις κωνικές τομές. Με τον Απολλώνιο τον Περγαίο (260 – 180 π.Χ.), το «Μεγάλο Γεωμέτρη» όπως τον αποκαλούσαν, εισάγεται μια σημαντική καινοτομία στους ορισμούς των κωνικών τομών και παρουσιάζονται στο αξιοθαύμαστο βιβλίο του «Κωνικές Τομές» που διασώθηκε.

Εδώ, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να απαντήσουμε στο ερώτημα:

Με ποιο τρόπο οι αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες Απολλώνιος και Μέναιχμος όρισαν τις κωνικές τομές και τι όνομα τους έδωσαν;

Η απάντηση δίνεται συνοπτικά στο παρακάτω σχήμα όπου διακρίνονται οι τέσσερεις κωνικές τομές: Παραβολή, Έλλειψη, Κύκλος, Υπερβολή.

Πιο συγκεκριμένα:

α) Η κλειστή καμπύλη που προκύπτει από την τομή ενός επιπέδου το οποίο είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα του κώνου (με γωνία κορυφής S οξεία, ορθή ή αμβλεία), ονομάζεται «παραβολή».

β) Η κλειστή καμπύλη που προκύπτει από την τομή ενός επιπέδου το οποίο δεν είναι παράλληλο προς τη βάση του κώνου και τέμνει όλες τις γενέτειρες ενός κυκλικού κώνου (με γωνία S οξεία, ορθή ή αμβλεία), ονομάζεται «έλλειψη».

Στην ειδική περίπτωση που το επίπεδο είναι παράλληλο προς τη βάση του κώνου, τότε η καμπύλη είναι ο γνωστός μας «κύκλος».

γ)  Στην περίπτωση που το επίπεδο τομής είναι παράλληλο στον άξονα του κώνου, τότε η καμπύλη ονομάζεται «υπερβολή». Μια καλύτερη εικόνα της υπερβολής παίρνουμε με το σύστημα των δύο ορθών κώνων ενωμένων στις κορυφές τους.

ii) Ο κύκλος στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ο κύκλος μαζί με την ευθεία αποτελούν τα δύο θεμελιώδη σχήματα με τα οποία οικοδομούνται όλα τα άλλα! Υπενθυμίζουμε ότι ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του αφιερώνει στον κύκλο και τις ιδιότητές του το βιβλίο ΙΙΙ.

Τόσο ο κύκλος όσο και η ευθεία κατασκευάζονται απευθείας με τη βοήθεια του διαβήτη και του χάρακα, αντίστοιχα. Για όλους μας η χάραξη ενός κύκλου στο τετράδιο ή στον κιμωλιοπίνακα προϋποθέτει τη γνώση των εννοιών «κύκλος», «κέντρο κύκλου», «ακτίνα κύκλου» και τη στοιχειώδη δεξιότητα χειρισμού του διαβήτη.

Ο κύκλος διδάσκεται από το Δημοτικό μέχρι το Λύκειο  ως γεωμετρικό ή ως αλγεβρικό αντικείμενο και  οι ιδιότητες του κύκλου είναι μοναδικές, όπως για παράδειγμα:

Άραγε σήμερα, τι θα μπορούσαμε να πούμε για τη δημιουργία ενός Κύκλου σε ένα ψηφιακό περιβάλλον, τόσο πολύ διαφορετικό από αυτό που μας κληροδότησε ο Ευκλείδης για πάνω από 2200 χρόνια;

Το θέμα μας: Πώς σχεδιάζουμε τον Κύκλο σε ψηφιακό περιβάλλον;

Ας επικεντρώσουμε το ενδιαφέρον μας στη σχεδίαση ενός κύκλου με ποικίλες προσεγγίσεις. Γενικά, ένας κύκλος μπορεί να δημιουργηθεί είτε με «αυτόματο» τρόπο (με το πάτημα ενός κουμπιού και στοιχειώδεις χειρισμούς με το δείκτη του ποντικιού όπως στις γνωστές εξειδικευμένες εφαρμογές) είτε να κατασκευαστεί αξιοποιώντας τις προγραμματιστικές δυνατότητες του διαθέσιμου κάθε φορά περιβάλλοντος καθώς και τις σχετικές μαθηματικές γνώσεις μας για τον κύκλο.

Στις προτεινόμενες κατασκευές, καλούνται οι ενδιαφερόμενοι να φτιάξουν ένα κύκλο, επιστρατεύοντας την εμπειρία και τις γνώσεις τους από τα Μαθηματικά και χρησιμοποιώντας ένα από τα σχετικά παλιά LOGO-LIKE περιβάλλοντα όπως το Microworld Pro και το γνωστό μας ελεύθερο λογισμικό Scratch (https://scratch.mit.edu ).

Πρώτη κατασκευή: Πώς να κατασκευάσουμε έναν κύκλο με τη χρήση της εξίσωσης του κύκλου;

Ένας μαθητής Β’ Λυκείου γνωρίζει ότι σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων 0xy  η εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο (0,0) και ακτίνα R είναι:

x² + y² = R²

Με τη δέσμευση να χρησιμοποιηθεί οπωσδήποτε η εξίσωση αυτής της μορφής, ο μαθητής καλείται να δημιουργήσει ένα πρόγραμμα το οποίο να χαράσσει ομόκεντρους κύκλους με επιθυμητή επιλογή διαφορετικών ακτίνων στο προγραμματιστικό περιβάλλον του Scratch.

Ο μαθητής γνωρίζει πολύ καλά ότι όταν κάνουμε γραφήματα συναρτήσεων, τότε τα στοιχεία του πεδίου ορισμού θα καταγράφονται στον οριζόντιο άξονα και τα στοιχεία του πεδίου τιμών στον κατακόρυφο άξονα.

Η πρώτη δυσκολία εμφανίζεται από τη στιγμή που ο μαθητής συνειδητοποιήσει ότι η εξίσωση του κύκλου δεν εκφράζει συνάρτηση!

Αυτή η δυσκολία σημαίνει ότι ο μαθητής οφείλει να επινοήσει ένα δικό του τρόπο σύμφωνα πάντα με την απαίτηση του προβλήματος

«να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση του κύκλου σε καρτεσιανές συντεταγμένες».

Μια καλή ιδέα είναι να φανταστούμε τον κύκλο ως σχήμα αποτελούμενο από δύο τμήματα – καμπύλες, έτσι ώστε να ξεπεραστεί η παραπάνω δυσκολία. Θεωρούμε, λοιπόν, δύο συναρτήσεις y1 και  y2. Με την πρώτη, απεικονίζεται το πάνω ημικύκλιο και με τη δεύτερη το κάτω. Τώρα, είμαστε έτοιμοι να περάσουμε στην υλοποίηση του.

Για την κατασκευή ενός κύκλου με αφετηρία την εξίσωση του κύκλου  ο μαθητής οφείλει να τα σκεφτεί όλα. Εξάλλου, εκεί βρίσκεται και η ομορφιά του προγραμματιστικού περιβάλλοντος του Scratch!

Ορίζουμε δύο αντικείμενα – sprites (κάτι σαν τις χελώνες της Logo) και για το καθένα φτιάχνουμε τη διαδικασία που θέλουμε να εκτελεί:

Να τοποθετείτε στο καρτεσιανό επίπεδο (με αρχή το Ο (0,0) της οθόνης) σε θέσεις που προσδιορίζονται από την  εξίσωση του κύκλου.

Στον πυρήνα του προγράμματος βρίσκεται ο υπολογισμός του  y = τετρΡίζα (R² – x²) και για τις τιμές του χ που αυξάνουν, για παράδειγμα, κατά  0.5 με την εντολή <άλλαξε χ κατά 0.5>.

Η εντολή <πήγαινε στο x y> αναλαμβάνει την τοποθέτηση του αντικειμένου στις θέσεις x, y του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων με αρχή Ο (0,0) στο κέντρο της οθόνης.

Με το μεταβολέα <R> επιλέγουμε την επιθυμητή ακτίνα και με το κουμπί <Start> αρχίζει η χάραξη των δύο ημικυκλίων. Τελικά, σχεδιάζεται ένας κύκλος με τη βοήθεια της εξίσωσης του κύκλου σε καρτεσιανές συντεταγμένες.

To project αναρτήθηκε του στην «Κοινότητα Scratch»

https://scratch.mit.edu/projects/170691043/

Δεύτερη κατασκευή: Πώς να κατασκευάσουμε έναν Κύκλο με τη χρήση των παραμετρικών εξισώσεων;

Μια μαθήτρια Β’ Λυκείου δεν είναι ευχαριστημένη με την τεχνική κατασκευής ενός κύκλου που έχει ως αφετηρία την εξίσωση του κύκλου σε καρτεσιανές συντεταγμένες.  Σκέφτεται ότι ο κύκλος μπορεί να διαγράφεται εύκολα αν αξιοποιήσει τις παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου που διδάχθηκε στα Μαθηματικά. Έτσι, με τo ζευγάρι των εξισώσεων

x = x0 + R sin φ και y= y0 + R cos φ,

επιχειρεί να κατασκευάσει έναν κύκλο ακτίνας R με κέντρο του ένα sprite στο σημείο (x0,y0) στην οθόνη του υπολογιστή.

Τώρα, ο κύκλος κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας μόνο ένα αντικείμενο – sprite που κινείται ακολουθώντας τις τιμές των συντεταγμένων (x,y). Τα αποτελέσματα είναι πολύ καλύτερα.

Η σελίδα οθόνης του προγράμματος περιλαμβάνει ένα μεταβολέα (slider) για την επιλογή της ακτίνας R του κύκλου και μια μεταβλητή < angle > που χρειάζεται για την κατασκευή κυκλικών τόξων.

Χρησιμοποιούμε ως αφετηρία το προηγούμενο project στο Scratch. Τώρα, μας είναι γνωστές οι δύο εξισώσεις των συντεταγμένων του αντικειμένου που διαγράφει κύκλο και δεν είναι άλλες από τις παραμετρικές εξισώσεις x=f(t) και y=f(t).

Δίνοντας στη γωνία t την αρχική τιμή μηδέν και με την εντολή να αλλάζει κάθε μία μοίρα, η απλή εντολή επανάληψης <επανάλαβε 360 φορές> τοποθετεί το αντικείμενο σε θέσεις που αντιστοιχούν στον κύκλο ακτίνας R.

(Οδηγίες:

— Το πρόγραμμα ξεκινάει με κλικ στο πράσινο σημαιάκι

—Με κλικ και σύρσιμο στο λευκό τετραγωνάκι  προσδιορίζω το κέντρο (Κ) του κύκλου

— Η ακτίνα του κύκλου ρυθμίζεται με το μεταβολέα (slider) < R >

— Το κυκλικό τόξο ρυθμίζεται με το μεταβολέα (slider) < angle >

Όταν φτιάξω τον επιθυμητό κύκλο μπορώ να τον «μεταφέρω» όπου θέλω στην οθόνη με κλικ και σύρσιμο στο λευκό τετραγωνάκι του κέντρου).

Σε κύκλο ακτίνας R = 106.2 σχεδιάσαμε ένα κυκλικό τόξο 135 μοιρών όπως φαίνεται στην εικόνα:

To project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch»

https://scratch.mit.edu/projects/170672570/

Τρίτη κατασκευή:  Κατασκευή Κύκλου «κατά προσέγγιση» με τις εντολές <προχώρα> και <στρίψε>
(«Γεωμετρία της Χελώνας», Turtle’s Geometry, S. Papert, A. DiSessa).

Μάθημα Μαθηματικών σε ένα Δημοτικό σχολείο. Η δασκάλα αποφασίζει να διδάξει τους μαθητές τον τρόπο κατασκευής ενός κύκλου, προσεγγιστικά, αξιοποιώντας τις δυνατότητες του ελεύθερου εκπαιδευτικού λογισμικού Scratch ή άλλου Logo–Like περιβάλλοντος όπως το Microworlds Pro.

Η κατασκευή ενός κύκλου σε πληροφορικό περιβάλλον από παιδιά του Δημοτικού  προέρχεται από τον S.Papert, δημιουργό της Logo. Η ιδέα είναι εξαιρετικά απλή: το παιδί σκέφτεται τις ενέργειες που κάνει καθώς διαγράφει έναν κύκλο περπατώντας στην αυλή του σχολείου και τις «μεταφράζει» με εντολές που καταλαβαίνει η χελώνα (ένα «ψηφιακό ζωάκι» που ζει στην οθόνη του υπολογιστή και υπακούει σε εντολές).

Οι μαθητές πληκτρολογούν τη διαδικασία με όνομα <κύκλος> και στη συνέχεια γράφουν τη λέξη <κύκλος> στο Κέντρο Εντολών του Microworlds Pro. Τώρα, παρακολουθούν το μικρό ζωάκι να φτιάχνει ένα «κανονικό πολύγωνο» που προσομοιάζει με κύκλο χωρίς να χρειαστεί να ορίσουν πρώτα το κέντρο του και να προσδιορίσουν την ακτίνα του. Για να πετύχει κάποιος μια αργή κίνηση της χελώνας θα πρέπει να παρεμβάλλει την εντολή <περίμενε 1> μέσα στην αγκύλη με τις εντολές.

Με αυτή τη διαδικασία οι μαθητές μπορούν να πειραματιστούν πραγματικά με σκοπό να κατασκευάσουν διαφορετικούς κύκλους και από τα αποτελέσματα αυτά να εξάγουν συμπεράσματα. Αυτό το πετυχαίνουν αλλάζοντας το πόσο να προχωράει και το πόσο να στρίβει η χελώνα.

Η δασκάλα διατυπώνει ερωτήσεις του τύπου: “Τι θα συμβεί αν …> και όλα τα άλλα ίδια όπως για παράδειγμα:

Τι θα συμβεί αν αντί για 360 επαναλήψεις θέσουμε 90 (και όλα τα άλλα ίδια);

Τι θα συμβεί αν αντί για μπροστά 1 θέσουμε μπροστά 3 ή 4 (και όλα τα άλλα ίδια);
Τι θα συμβεί αν αντί για δεξιά 1 θέσουμε δεξιά 3 ή 4 (και όλα τα άλλα ίδια);

Πειραματισμός με ένα «μικρόκοσμο» στο Scratch

Με ένα μικρό προγραμματάκι στο Scratch μπορούμε να φτιάξουμε έναν κατά προσέγγιση κύκλο.

Για τη διευκόλυνση του πειραματισμού, σύμφωνα με τη λογική της προηγούμενης δραστηριότητας (επανάλαβε <φορές> [μπροστά <βήμα> δεξιά <στροφή>]) η δασκάλα προτείνει τον παρακάτω «μικρόκοσμο» ώστε να επιτρέπεται στους μαθητές να αλλάζουν τις τιμές των τριών μεταβλητών με ονόματα <φορές>, <βήμα> και <στροφή>.  Στο scratch ο αντίστοιχος κώδικας χτίζεται με μια επαναληπτική διαδικασία που περιλαμβάνει «τουβλάκια κώδικα» με το πάτημα του space (ΚΕΝΟ).

Μ’ αυτόν τον τρόπο, δίνονται πολλές ευκαιρίες στους μικρούς μαθητές, πρώτα να προβλέπουν τι θα συμβεί και στη συνέχεια να επιβεβαιώνουν την ορθότητα της πρόβλεψής τους.

Τέταρτη κατασκευή:   Κατασκευή κύκλου ακτίνας R, «προσεγγιστικά»

Ενδεχόμενα, η προηγούμενη εφαρμογή ξαφνιάζει επειδή δεν αναφέρεται καθόλου σε ένα κέντρο και μια ακτίνα του κύκλου, όπως θα ήθελε ο Ευκλείδης:

«Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα R ονομάζεται το επίπεδο σχήμα του οποίου όλα τα σημεία απέχουν από το Ο απόσταση ίση με R». (Ορισμός, «Στοιχεία»).

Έτσι, ένας μαθητής της Β’ Λυκείου σκέφτεται να επιστρατεύσει τις γνώσεις του από τη σχολική Γεωμετρία με σκοπό να φτιάξει ένα πρόγραμμα κατασκευής κύκλων με δοσμένα τόσο το «Κέντρο Ο» όσο και την «ακτίνα R». Τα πλέον κατάλληλα προγραμματιστικά περιβάλλοντα για τη συγκεκριμένη περίπτωση είναι το κλασικό λογισμικό Microworlds Pro και το εύχρηστο ελεύθερο λογισμικό Scratch.

Στο προγραμματιστικό περιβάλλον Microworlds Pro φτιάχνουμε τη διαδικασία (με όνομα <κύκλος>) κατασκευής κύκλου ακτίνας R.

                για κύκλος

                επανάλαβε 360 [μπροστά 2 * π  * R / 360  δεξιά 1]

                τέλος

Έτσι, δημιουργείται ένας κύκλος ακτίνας R χωρίς να έχουμε τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε και το κέντρο του.

Στο προγραμματιστικό περιβάλλον του Scratch

Χρειάζομαι δύο sprites: Το πρώτο, θέλουμε να αναπαριστάνει το κέντρο του κύκλου Κ και το δεύτερο, με τη μορφή γάτας, να αναλαμβάνει τη σχεδίαση του κύκλου. Επίσης, φροντίζουμε να υπολογίζεται η απόσταση τους που αποτελεί την ακτίνα του κύκλου. Η ιδέα είναι πολύ απλή. Θέλουμε ο κύκλος μας να κατασκευάζεται με «δυναμικό τρόπο» αλλά με κλικ και σύρσιμο να μπορώ να αλλάζω τις θέσεις τόσο του κέντρου Κ όσο και της «γάτας»

Στη σελίδα οθόνης, αμέσως παρακάτω, παρουσιάζονται τόσο το κέντρο του κύκλου Κ όσο και η «γάτα» που σχεδιάζει τον κύκλο:

Ο κώδικας βασίζεται στο μπλοκ (block) με τίτλο < κύκλος R > όπου φαίνεται πώς κύκλο με αλληλεπίδραση έχουμε χωρίς τη χρήση των  γνωστών εξισώσεων x=R cos t  και y=R sin t.

Οδηγίες:

—Με κλικ και σύρσιμο στα δύο sprites αλλάζω τις θέσεις τους.

—Με τα πλήκτρα (up) και (down) μεγαλώνω ή μικραίνω την ακτίνα του κύκλου.

—Αν το sprite γάτα βρεθεί εκτός οθόνης τότε κάνε κλικ στο sprite κέντρο Κ.

To project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch»

https://scratch.mit.edu/projects/170845684/ με τίτλο Circle_Papert

Πέμπτη κατασκευή: Δημιουργία κύκλου με μεγάλο αριθμό αντικειμένων που «εξακοντίζονται» από ένα κέντρο (μέθοδος M.Resnick)

Ας φανταστούμε ότι σε μια θέση της οθόνης τοποθετούμε, με κλικ και σύρσιμο, ένα αντικείμενο (μπλε κυκλάκι) που θα παίξει το ρόλο του κέντρου K ενός κύκλου.

Με κλικ πάνω σ’ αυτό το αντικείμενο στέλνουμε ένα μήνυμα σε ένα δεύτερο αντικείμενο (κόκκινο κυκλάκι):

«Δημιούργησε < Ν > κλώνους του εαυτού σου»

…..και αυτό επιτυγχάνεται με τον κώδικα:

Το δεύτερο sprite-αντικείμενο (κόκκινο κυκλάκι) μόλις λάβει αυτό το μήνυμα εκτελεί το μικρό προγραμματάκι:

Με το τρέξιμο του προγράμματος ξεκινάει η «εκτόξευση» των μικρών κόκκινων κλώνων από το κέντρο προς τυχαίες κατευθύνσεις.  Το αποτέλεσμα είναι εντυπωσιακό.

Ο «κώδικας» του προγράμματος είναι πολύ απλός και κατανοητός. Σύμφωνα μ’ αυτόν η σφαίρα τοποθετείται στο κέντρο, με την εντολή <πήγαινε στο Κ> και πάρε τυχαία κατεύθυνση με την εντολή <δείξε τυχαία κατεύθυνση από 1 ως 360 μοίρες>. Στη συνέχεια κινείται 2 βήματα μέχρι να διανύσει απόσταση ίση με την επιθυμητή ακτίνα  (R/2) και εκεί αφήνει το αποτύπωμά της.

Σημείωση: Στο άρθρο του «New Paradigms for Computing, New Paradigms for Thinking» ο M.Resnick ισχυρίζεται ότι το ερώτημα που τίθεται δεν είναι αν αυτή η προσέγγιση με τα πολλά αντικείμενα είναι καλύτερη από την παραδοσιακή. Επιπλέον τονίζει ότι το καίριο ερώτημα δεν είναι να παρέχουμε καλύτερους τρόπους να κάνουμε Γεωμετρία αλλά να βρούμε περισσότερες προσεγγίσεις να κάνουμε Γεωμετρία και να σκεφτόμαστε γι αυτήν.

«Το να καταλάβουμε κάτι με διαφορετικούς τρόπους προάγει μια συνολική κατανόηση που είναι πιο πλούσια και διαφορετικής φύσης από αυτήν που προσφέρει μόνο ένας και μοναδικός τρόπος κατανόησης».

Με άλλα λόγια οι προσεγγίσεις τύπου «Γεωμετρίας Χελώνας» ενδυναμώνουν άλλους τρόπους για να σκεφτόμαστε τη Γεωμετρία.

To project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch»

https://scratch.mit.edu/projects/170556183/ με τίτλο Circle using cloning (M. Resnick)

Έκτη κατασκευή: Σχεδίαση ομόκεντρων κύκλων με χρώματα

Ένας ανήσυχος μαθητής Λυκείου και λάτρης του Scratch βαρέθηκε τους τέλειους κύκλους που σχεδιάζονται με το ίδιο πάχος και χρώμα. Ήθελε κάτι διαφορετικό, κάτι που να συνδυάζει τα Μαθηματικά με την Τέχνη. Σκέφθηκε, λοιπόν, να φτιάξει ένα μικρό πρόγραμμα με το οποίο να σχεδιάζει όμορφους ομόκεντρους κύκλους διαφορετικών χρωμάτων με την ιδέα να αξιοποιήσει τις δυνατότητες προγραμματισμού της χρωματικής σκίασης.  Με το τρέξιμο του προγράμματός του βλέπουμε την αρχικά «μαύρη» οθόνη του υπολογιστή να γεμίζει pixel – pixel, σταδιακά, με ομόκεντρους κύκλους. Χρειάστηκε να περιμένουμε λιγάκι αλλά το αποτέλεσμα είναι πράγματι εντυπωσιακό.

Σημείωση: Το πρόγραμμα λειτουργεί άψογα εφόσον χρησιμοποιήσετε τη δυνατότητα TURBO του scratch (πλήκτρο Shift + πράσινο σημαιάκι).

Ας δούμε πως ο μαθητής του Λυκείου «έχτισε» το πρόγραμμά του.  Το περιβάλλον του Scratch διαθέτει μια καταπληκτική προγραμματιστική δυνατότητα που αφορά τη χρωματική σκίαση του μολυβιού ενός αντικειμένου – sprite. Αυτή η σκίαση μεταβάλλεται από 0 ως 100 με το 50 να αντιστοιχεί στο χρώμα της αρχικής επιλογής μας. Αν η σκίαση είναι μηδέν τότε το χρώμα του μολυβιού είναι μαύρο ενώ αν η σκίαση είναι 100 τότε το χρώμα είναι λευκό.

Η ιδέα της σχεδίασης είναι απλή. Ζητάμε από ένα αντικείμενο – κουκίδα να τοποθετείται συνεχώς σε τυχαίες θέσεις της οθόνης και να αφήνει ένα «σημαδάκι» με χρωματική σκίαση που είναι ανάλογη με την απόσταση του αντικειμένου από το κέντρο Κ της οθόνης.

Όπως φαίνεται στον «κώδικα» του προγράμματος, προηγείται η εντολή <πήγαινε σε τυχαία θέση της οθόνης με την πένα πάνω> και ακολουθεί η εντολή με τον κανόνα της σκίασης:

σκίαση = e * απόσταση από Κ

Έτσι, το αντικείμενο αφήνει το ίχνος του με διαφορετική κάθε φορά χρωματική σκίαση. Παρατηρήστε ότι τα σημεία που ισαπέχουν από το κέντρο Κ παίρνουν τελικά την ίδια χρωματική απόχρωση.

To project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch»

https://scratch.mit.edu/projects/170847663/  με τίτλο circle_random

Σημείωση: Πέρσι το Δεκέμβριο 2016, στην “Κοινότητα του Scratch”, ανάρτησα ένα project στο οποίο παρουσιάζονται με την ίδια μέθοδο, εκτός από τον κύκλο, η έλλειψη και η Υπερβολή.

https://scratch.mit.edu/projects/133955420/

Έβδομη κατασκευή: Φτιάχνοντας κυκλική διάταξη αντικειμένων με το … δείκτη του ποντικιού.

Μια μαθήτρια είχε την ιδέα να δημιουργήσει ένα μικρό project με το οποίο να σχεδιάζονται κυκλικές διατάξεις ακτίνας R με μικρές κόκκινες-κουκίδες αξιοποιώντας μόνο το δείκτη του ποντικιού.

Αρχικά, στην οθόνη υπάρχει ένα αντικείμενο – σημείο Κ το οποίο μπορεί να τοποθετηθεί σε οποιοδήποτε σημείο της και με κλικ πάνω του αφήνει το αποτύπωμά του. Επίσης υπάρχει ένας μεταβολέας επιλογής της ακτίνας του κύκλου στον οποίο επιθυμούμε να διατάσσονται τα αντικείμενα – κουκίδες. Ένας μετρητής στην οθόνη μας πληροφορεί για την απόσταση d που βρίσκεται κάθε φορά ο δείκτης του ποντικιού.

Το ενδιαφέρον βρίσκεται στον τρόπο με τον οποίο θα τοποθετούνται κυκλικά τα αντικείμενα:

«Με μετακίνηση του δείκτη του ποντικιού θα παίρνουμε το αποτύπωμά του αντικειμένου μόνο όταν η απόσταση του είναι περίπου ίση με την επιθυμητή ακτίνα R».

Το αποτέλεσμα αυτής της δραστηριότητας παρουσιάζεται στην παρακάτω σελίδα οθόνης:

—Με το slider R επιλέγω την επιθυμητή ακτίνα της κυκλικής διάταξης. Μετακινώ το δείκτη του ποντικιού στην οθόνη σε αποστάσεις R από το κέντρο, οπότε αφήνεται μια στάμπα.

—Με κλικ και σύρσιμο μετακινώ το κέντρο του κύκλου στην οθόνη και επαναλαμβάνω την ίδια διαδικασία για να φτιάξω άλλο κύκλο.

To project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch»

https://scratch.mit.edu/projects/170860033/ με τίτλο circle_stamp

Σημείωση: Εκτός από τους επτά (7) τρόπους προγραμματισμού της σχεδίασης κύκλων  σε Logo-Like περιβάλλοντα (κυρίως στο Scratch) θεωρώ ότι άλλα τρία projects μπορεί να έχουν ενδιαφέρον.

1. Κατασκευή Κύκλου, Έλλειψης και Παραβολής σύμφωνα με τον μεγάλο Γεωμέτρη Απολλώνιο.

https://scratch.mit.edu/projects/54666374/

 2. Κατασκευή Κύκλου που διέρχεται από δύο (2) δοσμένα σημεία της οθόνης

Το project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch» (2013)

https://scratch.mit.edu/projects/10741686/

3. Κατασκευή Κύκλου που διέρχεται από τρία (3) δοσμένα σημεία της οθόνης

Το project αναρτήθηκε στην «Κοινότητα του Scratch» (2013)

https://scratch.mit.edu/projects/10800988/